最速降下曲線-09 - 等時性

再度，

最終的に水平になる場合，θ_L= π，

を考えていきましょう．

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
L &= \frac{ \pi}{2} H \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

今までに議論では，
　x(0)=0, y(0)=H
と最頂点からの落下を考えていきました．

では，
　曲線の途中から始まった落下での時間
はどうなるのでしょう？

二通りで考えていきましょう．

・解法-01

最下点からの任意のθまでの距離（最下点からの距離であることに注意）は，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
s_{\pi \ to \ \theta} &= -4a \ cos \frac{\theta}{2} = -4a \ cos \phi \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

でした．マイナスが付くのは，最下点からの距離だからですね．

また，斜面に沿った重力加速度成分は，

となります．

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\alpha_s &= g \ cos \ \phi \\
cos \ \phi &= -\frac{s}{4a} \\
\alpha_s &= -\frac{g}{4a} s = \frac{d^2s}{dt^2}\\
s &= A \ cos \ \omega t + B \ sin \ \omega t \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となります．

初期条件として，速度は０なので，
$ { \Large \displaystyle s(0) = s_0 , \frac{ds}{dt} (0) = 0 }$

となるので，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
s(t) &= A \ cos \ \omega t + B \ sin \ \omega t \\
s(0) &= A = s_0 \\
s'(t) &= - \omega \ A \ sin \ \omega t + \omega \ B \ cos \ \omega t \\
s'(0) &= \omega \ B = 0 \rightarrow B=0 \\
s(t) &= s_0 \ cos \ \omega t \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となり，これは実は単振動と同じ式となります（説明は後ほど）．

単振動の場合，周期（時間）は一に依存しませんでしたよね．

最下点では，sが０となるので（最下点からの距離であることに注意），
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
s &= s_0 \ cos \omega t = 0\\
\omega t &= \frac{\pi}{2} \\
t &= \frac{\pi}{2 \omega} = \frac{\pi}{2 }\sqrt{ \frac{4a}{g}} \\
&= \pi \sqrt{ \frac{a}{g}}
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となり，時間ｔの式には，初期条件，$ { \Large \displaystyle s_0 }$　，が含まれなくなっちゃいます．

したがって，どの位置から落下させても同じ時間となることになります．

さらに，ここ，でもとめた到達時間，最頂点，Hからの到達時間は，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
T = \sqrt{\frac{H}{g(1 - cos \ \theta_f)}} \theta_f \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

において，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
T &= \sqrt{\frac{H}{g(1 - cos \ \theta_f)}} \theta_f \\
\theta_f &= \pi \\
T &= \sqrt{\frac{H}{2g}} \pi \\
a &= \frac{H}{2} \\
T &= \sqrt{\frac{2a}{2g}} \pi = \sqrt{\frac{a}{g}} \pi \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

と同じになります．

動画も作りましたので，ここ，からどうぞ．